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假想力(fictitious force, also pse

归属:知识安全 日期: 2020-06-18 作者: 热度: 467℃ 908喜欢

以非惯性座标系描述运动时,物体并不遵守牛顿运动定律。为了使牛顿运动定律看起来仍能成立,我们只好多引入假想力的概念,此假想力完全不是因为物体间有实质的交互作用而产生。在旋转座标系中,假想力包含离心力跟科氏力。

例一:
假想坐在轿车中的乘客,于汽车突然启动时,乘客感觉到身体似乎被向后抛、背部跟着紧贴住座椅;而当行车骤然停止时,乘客感受到一个往前的冲力;急转弯时,身体则会侧向往转弯外侧抛甩。

例二:
如图一,想像你是爱莉丝,吃了缩小蘑菇之后掉入疯子哈特(Mad Hatter)搅拌中的茶杯,你跟水流方向同步,被水流带着走,你会看到身旁的水是静止的,而整个杯子则是反向旋转。在接近底部的地方,水有跟着杯底一起运动的特性,所以对爱莉丝来说,这些水有一个圆周运动的速度。伴随着这个速度的科氏力会指向杯子中央,于是茶叶顺着水流被推向杯底中央聚集起来。此外,爱莉丝还会发现水面不是平的,而是呈外高内低的抛物面状,这是因为对她来说周遭的水会感受到离心力,而将水往外抛去,结果外缘就会累积较高的水位。

假想力(fictitious force, also pse

图一 爱莉丝被水流带着走,她会看到身旁的水是静止的,但整个杯子则是反向旋转。 (陈义裕绘)

例三:
考虑两个人 $$A$$ 跟 $$B$$, 各自处于某个座标系中,其中 $$A$$ 的座标系用 $$(x,y,z)$$ 表示,$$B$$ 用 $$(x’,y’,z’)$$ 表示,假设两座标系可用下式连结:

$$x=x’+s(t),~~~y=y’,~~~z=z’$$

若对于而言物理定律展现出来的形式是我们所熟悉的 $$F=ma$$,则对 $$B$$ 而言,我们有:

速度公式:$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x’}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t},~~~\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y’}{\mathrm{d}t},~~~\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}z’}{\mathrm{d}t}$$

$$\Rightarrow$$加速度公式:$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}^2x’}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2},~~~\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}^2y’}{\mathrm{d}t^2},~~~\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}^2z’}{\mathrm{d}t^2}$$

如果 $$s(t)$$ 是常数,那 $$\mathrm{d}s/\mathrm{d}t=0$$,$$\mathrm{d}^2s/\mathrm{d}t^2=0$$ 受力为零,所以两座标系都遵守相同的力学定律:$$F=ma=ma’$$。如果 $$s=ut$$,其中 $$u$$ 是常数,则表示 $$B$$ 座标系相对于座标系而言是以定速移动,从 $$\mathrm{d}s/\mathrm{d}t=0$$,$$\mathrm{d}^2s/\mathrm{d}t^2=0$$,可知受力仍为零,故仍遵守相同物理定律。

但如果 $$s=\displaystyle\frac{1}{2}a_0t^2$$,其中 $$a_0$$ 是常数,则 $$\displaystyle\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=a_0t,~\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}=a_0$$,

此乃均匀加速度,则 $$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}=a_0\ne 0$$ ,

这时对 $$A$$ 而言:作用力的 $$x$$ 分量 $$F_x=\displaystyle m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}$$

但对 $$B$$ 而言:作用力的 $$x’$$ 分量 $$F_{x’}=\displaystyle m\frac{\mathrm{d}^2x’}{\mathrm{d}t^2}-ma_0$$

亦即,原本牛顿定律中会额外冒出一项 $$-ma_0$$。这对而言,就像是一个找不到作用源的力,所以就被称为假想力。注意到假想力的大小总是跟受力物体的质量成正比。

 例四:
在高速旋转的离心机中,若採用和离心机一起旋转的座标系来分析问题,则图二试管的水位受到离心力影响,与重力的合力使得试管水面与地面重力方向维持一定角度,在极高速状况下可接近垂直面。而液体中的粒子则受到离心力往管壁一端推,最后沉积在管壁。

假想力(fictitious force, also pse

图二 (引自: http://cnx.org/)

例五:
电影中的场景:如图三,主角在酒吧中跟酒保点了杯酒,酒保倒好酒之后,从吧檯上用力一推,酒杯滑向主角,此时酒杯里的酒在受到推力的短暂时间内,受到一股往后的假想力,液面垂直于此力与重力的合力,因此往斜后方倾斜。之后酒杯持续受到桌面摩擦力而减缓冲速,此时假想力与重力的合力使得液面微微往前倾斜,最后主角伸手一拦,使酒杯倏然止住,此时酒杯的酒会剧烈往前推挤倾侧。

假想力(fictitious force, also pse

图三 (作者提供)

由于假想力跟质量成正比,重力也是,因此爱因斯坦猜测也许重力本身就可以看成是一种假想力:一个在箱子(或电梯)的人,当箱子在地面上处在静止状态时,里面的人感受到重力,这个往下的力跟他质量成正比。而一个在太空中不受其他重力影响的箱子,于受到一个力影响而产生加速度后,在其中的人也会感觉受到一股力将他拉向一边,此力也与质量成正比,所以他将无法分辨自己到底是受到重力还是处在加速系统中。而当箱子与在箱中的人,在重力场中自由落下的时候,此人感到处于无重力状态,他也将无法分辨他是在重力场中自由落下还是漂浮在外太空。

从这想法延伸,爱因斯坦最后将重力当成假想力,并且将牛顿力学中重力场所产生的潮汐力归因于时空弯曲,于是奠定了广义相对论(general theory of relativity)的基础。

参考资料:

 延伸阅读:杯中茶叶何去何从?